Universidad de Guayaquil
Facultad de Ingeniería Química
Carrera de Ingeniería Química
Estudiante:
Dalma Alcívar Guerrero
Docente:
Ing. Qco. Manuel Fiallos.
Curso:
Primer Semestre “B”
Año Lectivo:
2015-2016
SEGUNDO
PARCIAL
Clase N°1
Viernes, 15 de enero del 2016.
HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos , es siempre igual a una cantidad
constante , positiva y menor que la distancia entre los focos .
[F-P]-[F´P]=2a
√( 〖〖(x-c)〗^2+y〗^(2 ) )- √(〖(x+c)〗^2+y^2 )=2 a
(√(〖〖(x-c)〗^2+y〗^(2 ) ) )2= (2a +√((x+c)+y^2 ) +(x+c)2+y2
(x-c)2 +y2=4 a2+ 4a√(〖(x+c)〗^2+y )2
(x-c)2-(x+c)2-4 a 2= 4a√(〖(x+c)〗^2 +y )2
-4xc-4 a=4a√((x+c)^2+y )2
x2c2+2 a2xc+a 4=a 2[(x+c)2+y2]
x2c2+2 a2xc+a 4= a2x2+2 a2xc+a 2c2+a2y2
x2c2-x2 a2+ a4-a2c2-ay2=0
x2(c2-a2)- a2(a 2-a2)- a 2y2=0
x2(c2-a2) – a 2y2= a2( c2-a 2)
(x^2 (c^2-a^2 ))/(a^2 (c^2-a^2)) -(a^2 y^2)/(a^2 (c^2-a^2 ) ) =(a^2 (c^2-a^2))/(a^2 (c^2-a^2))
x^2/a^2 -y^2/b^2 =1---b^2=c^2-a^2
a 2-b2= (a-b)(a+b)
[(x-c)-(x+c)][(x-c)+(x+c)]
(x-c-x-c)(x-c+x+c)
(-2c)(2x)
Deducir el valor de y
x^2/a^2 -y^2/b^2 =1
1-x^2/a^(2 ) =y^2/b^2
(a^2-x^2)/a^2 = y^2/b^2 y^2/b^2 = x^2/a^2 -1(x^(2 ) 〖-a〗^2)
(a2-x2) (b2)= a 2y2
a2y 2=b 2(a2-x2)
√(y^2 )=√(b^2-(a^2- b^(2)) )/( 〖 a〗^2 )
Y=± b/a √(x^2-a^2 )
√(〖x^2-a〗^(2 ) )
x^2-a^2≥0 no existe
x^2≥a^2: x≥±a
Clase N° 2
Miércoles
, 18 de Febrero del 2016.
1)
Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancia a las
rectas 4x-3y+11=0 y 4x+3y+5=0 sea igual a 144/25.
4x-3y+11=0
4x-3y+11=0
x/(-11/4)-y/(11/3)=1
2.4x+3y+5=0
x/(-5/4)-y/(5/3)=1
( (4x-3y+11)/√(16+9))((4x+3y+5)/√(16+9))=144/25
((4x-3y+11)/5)((4x+3y+5)/5)=144/25
( 4x-3y+11)(4x+3y+5)/25=144/25
( 4x-3y+11)(4x+3y+5)=144
16x^2-9y^2+64x+18y+55=144
6x^2-9y^2+64x+18y=89
4x-3y+11=0
4x-3y+11=0
x/(-11/4)-y/(11/3)=1
2.4x+3y+5=0
x/(-5/4)-y/(5/3)=1
( (4x-3y+11)/√(16+9))((4x+3y+5)/√(16+9))=144/25
((4x-3y+11)/5)((4x+3y+5)/5)=144/25
( 4x-3y+11)(4x+3y+5)/25=144/25
( 4x-3y+11)(4x+3y+5)=144
16x^2-9y^2+64x+18y+55=144
6x^2-9y^2+64x+18y=89
1 2)
Hallar
el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuyo producto de las pendientes de las
rectas que los unen con los puntos fijos (-2,1) y (4,5) es igual a 3.
m_1*m_2=3
((y-y_1)/(x-x_1 ))((y-y_2)/(x-x_2 ))=3
( (y-1)/(x+2))((y-5)/(x-4))=3
( y^2-5y-y+5)/(x^2-4x+2x-8)=3
y^2-5y-y+5=〖3x〗^2-12x+6x-24
〖-3x〗^2+12x-6x+y^2-5y-y=-19
〖-3x〗^2+6x〖+y〗^2-6y=-19
- 3(x^2-2x+1)+(y^2-6y+3)=-19
Curvas planas de orden superior
Una
curva algebraica es aquella que se puede representar por medio de un polinomio
en X y E igualado a 0. Las curvas que no se puede representar de esta forma se
llama curvas transcendentes.
Transcendente: y=senx y=e^x
y=Ln^x y=Logx y=sgn(x)
-Propiedades de logaritmos
Log a+ log b= log a*b b log a=log a^b
Log a-log b=log a/b log_a a=1
Log 100=2 Log 10^2 2〖log〗_10 10=2
Log1000= log 10^3= 3
〖Log〗_2 4=〖Log〗_2 2^2=2
〖Log〗_2 8=〖Log〗_2 2^3=3
Log_manzana 〖manzana〗^n=n
〖Log〗_b a=c a=b^c
Log_e a=Ln a
Log_b a=(Log a)/(Log b)
Expotencial
e^(x+y)=e^x*e^y e^(x-y)=e^x/e^y e^(Ln x^2 )=x^2
a^(〖Log 〗_a b)=b
Ejercicios
2^(x+2)=1 x=? 2^(x+2)=2^0 x+2=0 x=-2
y^2=(x-1)(x-3)(x-4)
y=√((x-1)(x-3)(x-4) ) F(x)=y
(x-1)(x-3)(x-4)≥0
-
Dominio: lo que permite
|
|
(x-1)
|
(x-3)
|
(x-4)
|
|
|
1>0>x
|
-
|
-
|
-
|
i
|
|
1
|
+
-
-
+
3
+
+
-
i
x>4
+
+
+
+
D=[1,3]U[4,∞)
1)
Dibuje
la curva
x^2 y〖-2x〗^2-16y=0 y(x^2-16)=2x^2
y=〖2x〗^2/(x^2-16) F(x)=〖2x〗^2/(x^2-16)
F (0)=(2(0)^2)/(0^2-16)=0 F(1)=(2(1)^2)/(1^2-16)=-2/15
F(3)=(2(3)^2)/(3^2-16)=-18/7
x^2-16≠0 x≠±4
Dominio (-∞,-4) U (-4,4) U (4, ∞)
Rango=R D=R-{-4,4}
y(-x^2+1)=-x^3 y=(-x^3)/(-x^2+1)=(-x^3)/(1-x^2 )
Denominador ≠ 0
- x^2+1≠0 -x^2≠-1 x^2≠1 x≠±1
y(-x^2+1)=-x^3 y=(-x^3)/(-x^2+1)=(-x^3)/(1-x^2 )
|
x
|
y
|
|
0
|
0
|
|
2
|
2,66
|
|
3
|
3,37
|
|
4
|
4,26
|
y (-x^2+1)=-x^3 y=(-x^3)/(-x^2+1)=(-x^3)/(1-x^2 )
F(0)=(-(0)^3)/(1-(0)^2 )=0
F(2)=(-(2)^3)/(1-(2)^2 )=2,66 F(3)=(-(3)^3)/(1-(3)^2 )=3,37
F (4)=(-(4)^3)/(1-(4)^2 )=4,26
D= (-∞,-1) U (-1,1) U (1, ∞)
Clase N° 3
Funciones exponenciales
Dibujar
la función y=a^x siendo a una constante positiva y mayor que la unidad.
y=3^x a=3
D=R
R= (0,∞)
y=4^x
dy/dx=Lim ∆y/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/∆x
〖 y〗^´,f´〖(x)〗_¸ dy/dx, y= dy/dt {█(Velocidad instantanea@pendiente de la recta tangente)}
y´´,f´´〖(x)〗_¸ (d^2 y)/(dx^2 ), y= (d^2 y)/(dt^2 ) {aceleración }
y´´´,f´´´〖(x)〗_¸ d^3/(dx^3 ), {Velociadad de aceleración}
f(x)= x^2 (f(x+∆〖X)〗^2-x^2)/∆x=(x^2+2x∆x+∆x^2-x^2)/∆x=(2x∆+∆^2)/∆=(∆x(2x+∆x))/∆x=2x+∆x=2x
〖 y=x〗^2
y´=2x
Ejercicios:
f(x)→x^3 f(x+∆x)=(x+∆〖x)〗^3
Lim (√(x-h)-√x)/h=1/(2√h)
h→0
(√(x+h)-√x)/h=(√(x+h)+√x)/(√(x+h)+√x)=(x+h-x)/(h(√(x+h)+√x))=h/(h(√(x+h)+√x))=1/(√(x+h)+√x)=1/(√x+√x)=1/(2√x)
Lim ∆y/∆x
∆x→0
dy/dx=Lim ∆y/∆x=(x^3+3x^2 ∆x+3x∆x^2+∆x^3)/∆x=(∆x(3x^2+3x∆+∆x^2))/∆x=3x^2
Derivar la siguiente función:
f(x)=(x+〖2)〗^2
f´(x)= dy/dx
f´(x)= dy/dx= dy/dx (ax^2 )+d/dx (bx)+d/dx(c)
La derivada de una constante es 0
f´ˌ(x)=2ax+b
d/dx (a)=0 d/dx (x^2 )=2x d/dx (x^n )=nx^(n-1)
d/dx (x)=0 d/dx (x^4 )=4x^3 d/dx (2x)=x dx/dx=2
d/dx (3x^2 )=3d/dx(x^3)=6x
Derivar la siguiente función:
f(x)=(x+〖2)〗^2
f(x)= x^2+4x+4
f´´(x)= dy/dx=d/dx (x^2 )+d/dx (4x)+d/dx(4)
dy/dx=2x+4 dx/dx=2x+4
Entonces la primera derivada es la pendiente tangente a una curva.
f(x)=2√x
f´(x)=dy/dx=d/dx=(2√x)=2 d/dx (√x)=2(1/(2√x))=(1/√x )
d/dx (x^(1⁄2) )= 1/2 x^(1⁄(2-1))=x^((-1)⁄2)/2=1/(2√2)
Derivar la siguiente función:
f(x)=2√x+1/x
f´(x)=dy/dx=d/dx (2√x)+d/dx (1⁄x)=(2d(√x))/dx+(d(x^(-1)))/dx=1/√x-1/x^2
〖 x〗^(-2)=-2x^(-2-1)=2x^(-3)=(-2)/x^3
x^(-2)=1/x^2 =(-2)/x^3
d/dx (1/x)=1/x^2
d/dx (2/x^2 )=-4/x^3
d/dx (8/x^4 )=(-32)/x^5
d/dx (2/x^3 )=(-6)/x^4
Clase N° 5
Viernes , 29 de enero del 2016.
d(x^n )
d(u^n )=(nx)^(n-1) du
d(u+v)=du+dv
d(u*v)=udv+vdu
d(u*v*z)=uvdz+uzdv+vzdu
d(u/v)=(vdu-udv)/v2
En caso de multiplicacion
y=(x+2)(x+5)
y´=(x+2)d(x+5)+(x+5)d(x+2)
y´=(x+2)1+(x+5)1
y´=2x+7
y=(x+2)(x+5)
y=x^2+7x+10
y=d(x^2 )+d(7x)+d(10)
y´=2x+7
y=(x^2+2)(x^2+5)
y´=(x^2+2)(2x)+(x^2+5)(2x)
y´=(2x)((2x^2+7)
y´=4x^2+14x
Y=(3x+2)(x^2+5)
y´=(3x+2)(2x)+(x^2+5)(3)
y´=(6x^2+4x +3x^2+5)
y´=9x^2+4x+5
y=(3/x+2)(2x^3+5)
y´=(3/x+2)(6x^2 )+(2x^3+5)(-3/x^2 )
y´=18x+12x^2-6x-15/x^2
y´=12x+12x^2-15/x^2
y=(3/x+2)(2x^(1/2)+5)
y´=(3/x+2)(x^(-(1/2) ) )+(2x^(1/2)+5(-3/x^2 )
y´=(3/x^(3/2) +2/x^(1/2) )+(-6/x^(3/2) -15/x^2 )
y´=-3/x^(3/2) +2/x^(1/2) -15/x^2
En caso de division
.d(u/v)=(v*du-u*dv)/v^2
y=(x+2)/(x+5); x≠-5
y´=((x+5)(1)+(x+2)(1))/(x+5)^2
y´=3/(x+5)^2
y=(x^2+2)/(x+5)
y´=((x+5)(2x)-(x^2+2)(1))/(x+5)^2
y´=(2x^2+10x-x^2+2)/(x+5)^2
y´=(x^2+10x+2)/(x+5)^2
y=(x^2+4)/(x+2)
y=(x+2)(x-2)/(x+2)
y=x-2
y´=1
y=(x^2+4)/(x+2)
y´=((x+2)(2x)-(x^2+4)(1))/(x+2)^2
y´=(2x^2+4x-x^2+4)/(x+2)^2
y´=(x^2+4x+4)/(x+2)^2
y ´=(x+2)^2/(x+2)^2
y´=1
y=(x^3–a^3)/(x-a)
y=(x-a)(x^2+ax+a^2 )/(x-a)
y=x^2+ax+a^2
y´=2x+a
y=(3x^2+5)/(x+2)
y´=((x+2)(6x)-(3x^2+5)(1))/(x+2)^2
y´=(6x^2+12x-3x^2+5 )/(x+2)^2
y´=(3x^2+12x+5)/(x+2)^2
y=(3x^(1/3)+5)/(√x)
y´=(((x^(1/2)(1/x^(2/3) ) )-(3x^(1/3)+5)(1/(2x^(1/2) ))))/x
y´=((x^(1/2)(1/x^(2/3) ) )-((3x^(1/3))/x^(1/2) +(5/x^(1/2) )))/x
y´= -1/(2x^(1/6) )-5/(2x^(3/2) )
Método de la cadena
y=u^n
y´=n*u^(n-1)*du
y=(x+2)^2
y´= 2(x+2)^(2-1)*d(x+2)
y´=2x+4
Y=(x^2+a)^2
y´=2(x^2+a)d(x^2+a)
y´=4x(x^2+a)
y´=4x^3+4xa
y=((x+2)/(x-2))^3
y´=3((x+2)/(x-2))^2*d((x+2)/(x-2))
d((x+2)/(x-2))=((x-2)(1)-(x+2)(1))/(x-2)^2
d((x+2)/(x-2))=-4/(x-2)^2
y´=(-12(x+2)^2)/(x-2)^4
y=((x+2)(x+3)/(x-2))^4
y=4((x+2)(x+3)/(x-2))^3 d((x+2)(x+3)/(x-2))
d((x+2)(x+3)/(x-2)) =((x-2)(2x+15)-x^2-5x-6)/(x-2)^2
d((x+2)(x+3)/(x-2))=x^2-4x-16
y´=(4(x+2)^3 (x+3)^3 (x2-4x-16))/(x+2)^5
y=[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4
y´=4[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^3 d[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4
d[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4=1-1/(x+2)^2
y´=4[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^3 (1-1/(x+2)^2 )
y´=(4(x+1)(x+3) (x(x+7)+11)^3)/(x+2)^5
y=(√(x+2 ) )/(x-2)
y´=((x-2)(d√(x+2)-√(x+2 ))/(x+2)^2
y´=((x-2)/(2√(x+2))-√(x+2)/(x+2)^2 )
y´=((x-2)-2(x+2))/(2√(x+2))
y´=(x-2)/(2√(x+2)) -2(x+2)/(2√(x+2))
y´=(x-2)/(2√(x+2) ( x-2)^2 ) -(x+2)/((2√(x+2)) (x-2)^2 )
y´=1/(2 √((x+2)(x-2) )) - (x+2)/(2 √((x+2) (x-2)^2 ))
Y=√((x+2)/(x-2))
y =1/2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) d((x+2)/(x-2))
y´=(1/2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) )((-4)/(x-2)^2 )
y´=(-2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) )(1/(x-2)^2 )
y´=(-2√(x-2))/(√(x+2) (x-2)^2 )
y´=(-2)/((√(x+2)) (x-2)^(3/2) )
- y=√(x^2+5 )/(3x^2+2)
y´=(((3x^3 +2) (1/2) (x^2+5)^(-1/2) ) –(x^2+〖5)〗^((1/2) ) (9x^2 )))/(((3x^2 )+2)^2)
y´=(((3x^3 +2) (x))/(√(x^2+5) ) –(x^2+〖5)〗^((1/2) ) (9x^2 )))/((3x^2 )+2)^2
Derivadas del logaritmo
d(lnx)=1/X d(ln u)=d u/u
y=〖ln(x+2)〗^2
y´=d((x+2)^2 )/(x+2)^2
y´=2(x+2)d(x+2)/(x+2)^2
y´=2(x+2)/(x+2)^2
y´=2/(x+2)
y=ln〖x^3 〗+3/x^2
y´=d(ln〖x^3 〗 )+d (3/x2)
y´=d(x^3 )/x^3 -6x^(-3)
y´=(3x^2)/x^3 – 6x^(-3)
y´=3x^(-1)-6x^(-3)
y=ln√(x^2+3x)
y´=(d(x^2 +3x)^(1/2))/(x^2+3x )^(1/2)
y´=(1/2 (x^2+3x)^(-1/2) (2x+3))/(x^2+3)^(1/2)
y´=((2x+3)/(2√(x^2+3x)))/(√(x^2+3x ) )
y´=(2x+3)/2(x^2+3)
y´=(2x+3)/(2 (x^2+3) )
y=√(ln(x^2+4x))
y=[ln(x^2+4x) ]^(1/2)
y´=1/2 [〖ln(x^2+4x ]〗^(-1/2) d(ln(x^2+4x))
y´=(〖d(ln〗〖(x{2 + 4x)))〗/(2 √(ln(x^2+4x) )))
y´=((2x+4)/(x^2+4x))/( 2√(ln(x^2+4x) ) )
y´=(x+2)/(ln(x^2+4) (x^2+4x) )
y=√((lnx^2)/x)
y´=(1/2 )(((lnx^(-1/2) ))/((x^(-1/2) ) ))((2x-2xlnx^2)/x^2 )
y´=lnx/x^(1/2)
y=ln(1/√(x+2))
y´=〖ln(x+2)〗^(-1/2)
y´=(-(1/2) (x+2)^((-3/2) ))/( (x+2)^(-1/2) )
y´=-1/(x+2)
- y= ln (ln(x))
y´=dlnx/lnx
y´=(1/x)/lnx
y´=1/xlnx
Determine de valor de la pendiente de la recta y a la curva ;cuando x=1
y =ln√((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((d((x^2+1)/(x^2-1))*d(((x^2+1))/(x^2-1))))/((x^2+1)/(x^2-1))^(1/2)
y´=(((1/2) ((x^2+1)/(x^2-1))^(-1/2)*d(((x^2+1))/(x^2-1))))/((x^2+1)/(x^2-1))^(1/2)
y´=((d(((x^2+1))/(x^2-1))))/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=(((x^2-1)(2x)-(x^2+1)(2x))/(x^2-1)^2 )/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((2x^3-2x-2x^3-2x)/(x^2-1)^2 )/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((-4x)/(x^2-1)^2 )/(((2x^2+2)/(x^2-1)) )
y´=(-4x )/(x^2-1)(2x^2+2)
y´=-2x/(x^4-1)
x=2
R: ℝ-{-1,1}
Y´=-4/(16-1)=-4/15
(y-o.25)=-4/15(x-2)
Viernes ,12 de Febrero del 2016.
Clase N°7
TEMA:
RAZÓN DE CAMBIO RELACIONADAS
Si una variable y depende del tiempo t entonces dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo.
Si y mide la distancia entonces esta razón de cambio se llama velocidad. Algunos ejemplos en ingeniería química suele ser el caudal o el flujo de masa que entra a un sistema, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, etc.
Ejercicios:
Se suelta un globo a 150 ft en un punto alejado un observador quien se encuentra a nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una v=8ft/s que tan rápido aumenta la distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 50 ft de altura.
s=√(〖50〗^2+〖150〗^2 ) s^2=h^2+a^2
s=50√10 m 2s ds/dt=2h dh/dt
h=50 ft s ds/dt=h dh/dt
150 ft 50√10 ds/dt=50*8 ds/dt=0.8√10 ft/s
En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 〖ft〗^3/min si la altura del tanque es de 12 ft ¿Qué tan rápido se eleva el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 4 ft.
6ft 6/12=r/h
6ft r=h/2
R 12 ft r V=1/3 πr^2 h
h h V= 1/3 π(h/2)^2 h 12 ft V= 1/12 πh^3
dv/dt= 3/12 πh^2 dh/dt
dh/dt= (4*8)/(π(4)^2 ) dh/dt=0.63 ft/min
Un aeroplano que vuela hacia el Norte a 640 mi/h pasa sobre cierta ciudad al medio día. Un segundo aeroplano que va hacia el Este a 600 mi/h esta directamente encima de la misma ciudad 15 min más tarde. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud que tan rápido se están separando a la 1:15pm
x_a=640 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_a=160 millas
y+160 x_b=600 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_b=150 millas
X
s= √((y+160)^2+(x)^2 ) 2s ds/dt=2(y+160) dy/dt+2x dx/dt
s= √((600)^2+(640+160)^2 ) ds/dt=(800(640)+600(600))/1000
s=1000 millas ds/dt=872 millas/h
f(x)=x^2+4x+4
En el intervalo [-4,0]
f^' (X)=〖(x+2)〗^2
x y
0 4
1 9
-1 1
-2 0
(-∞,-1)decrece
(-1,∞)crece
f^' (x)=d[(x+2)]^2
f^' (x)=2(x+2)
f^' (x)=0
0=2(x+2)
x=-2
R= (0,∞)
y=4^x
Clase N° 4
Representar La función
normal y=e^(-x)
|
X
|
y
|
|
|
-4 e^4=54,59815
|
|
-3
| e^3=20,08553691 |
|
-2
| e^2=7,389056096 |
|
-1
| e=2,718281828 |
|
0
|
1
|
|
1
|
e=0,367879441
|
|
2
|
e=0,135335283
|
|
3
|
e= 0,049787068
|
Dom:IR
Rg:(0,+∞)
Representar La función
normal y=e^(〖-x〗^2 )
|
X
|
y
|
|
-3
|
1⁄e^9
|
|
-2
|
1⁄e^4
|
|
-1
|
1⁄e
|
|
0
|
1
|
|
1
|
1⁄e
|
|
2
|
1⁄e^4
|
|
3
|
1⁄e^4
|
Dom:IR
Rg(0,1]
Clase N° 4
Lunes , 25 de Enero del 2016.
Límite de una función
En las aplicaciones de la definición de límite, se presenta usualmente casos como el siguiente:
Se tiene una variable “v” y una función dada z de “v” y se supone que la variable v recibe valores tales que v cuando tiende a l.
Si efectivamente existe una constante a tal que el límite z igual a, entonces se expresa esta relación.
Lim z = a
Ʊ l
Ejemplo:
Limf_((x)= x^2+3x+2)
〖x→ =(5)〗^2+3(5)+2=42
Lim〖f_((x) ) 〗
x→5=42
Ejercicios:
Demostrar que el límite de x^(2 ) cuando x tiene a 2 es igual a 4.
Lim x^2=4 Lim x^2
x→2 x→2
f(x)=x^2 Lim x^2
f (2)=4 x→2=4
2) Demostrar que el limite (z^2-9)/(z-2) cuando z tiende a 2 es igual a (-5)/4
Lim (z^2-9)/(z+2)= (-5)/9
Lim (z^2-9)/(z+2)= ((2)^2-9)/((2+2) )= (-5)/4
Z→2
x→2
Se dice que una función f (x) es continua para x=a si el límite de la función, cuando x tiende hacia “a” es igual al valor de la función para x =a.
Lim f(x)
x→ = f(a)
Entonces f(x) es continua para x=a. Se dice que la función es discontinua para x=a cuando no se satisface esta condición.
Caso 1: f(x)= (x^2-4)/(x-2) Para x = 1
f(1)= (〖(1)〗^2-4)/(1-2)= (-3)/(-1)=3
Lim (x^2-4)/(x-2)=
x→1
Lim f(x)=f(0)continua
x→a
Caso 2: Si f(x) no está definida para x=a pero el límite de a cuando x→a es igual a B.
Lim f(x)
x→a=B Discontinua
Entonces f(x) será continua para x= a, si se tomó como valor f(x) para x= a el valor B.
Lim (x^2-4)/(x-2)= f(x) (〖(2)〗^2-4)/(2-2)=0/0 f(x)=((x+)(x-2))/((x-2))= Lim f(x)=x+2=4
x→2
Infinito
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanecer mayor a cualquier numero positivo asignado de antemano por grande que este sea, decimos que v se vuelve infinito si v toma solamente valores positivos se hace infinitamente positivo o infinitamente positivo. Si se toman valores negativos se hace infinitamente negativo.
Lim v=⋈
Lim v=⋈+1
Lim v=⋈-1
Lim 1/x=⋈
x→0
Lim 1/x=⋈+
x→0+
Lim 1/x=⋈-
x→0-
Ejercicios:
Demostrar que el limite (〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-〖7x〗^3 ) cuando x→⋈ es igual a -2/7
Lim (〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-〖7x〗^3 )=(-2)/7
((〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/x^3 )/((5x-x^2-〖7x〗^3)/x^3 )=(〖2x〗^3/x^3 -〖3x〗^2/x^3 +4/x^3 )/(5x/x^3 -x^2/x^3 -〖7x〗^3/x^3 )=(2-3/x+4/x^3 )/(5/x^2 -1/x-7)
(〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-7x^3 )=(2-3/⋈+4/⋈^3 )/(5/⋈^2 -1/⋈-7)=2/(-7)=(-2)/7
Lim (x^2 h+3xh^2+h^3)/(2xh+5h^2 )=x/2
x→0
(h(x^2+3xh+h^2))/(h(2x+5h))=
(x^2+3x(0)+〖(0)〗^2)/(2x+5(0))=x/2
Demuestre la siguiente función:
Lim (〖ax〗^4+bx^2+c)/(dx^5+ex^3+fx)=0
x→⋈
((ax^4+bx^2+c)/x^5 )/((〖dx〗^5+ex^3+fx)/x^5 )=((ax^4)/x^5 +(bx^2)/x^5 +c/x^5 )/((dx^5)/x^5 +(ex^3)/x^5 +fx/x^5 )=(a/x+b/x^3 c/x^5 )/(d+e/x^2 +f/x^4 )=0/d=σ
Demuestre la siguiente función:
Lim (ax^4+bx^2+c)/(dx^3+ex^2+fx+g)=⋈
x→⋈
((ax^4+bx^2+c)/x^4 )/((dx^3+cx^2+fx+g)/x^4 )=((ax^4)/x^4 +(bx^2)/x^4 +c/x^4 )/((dx^3)/x^4 +(ex^2)/x^4 +fx/x^4 +g/x^4 )=(a+b/x^2 +c/x^4 )/(d/x+e/x^2 +f/x^3 +g/x^4 )=( a)/0=⋈
Demuestre la siguiente función:
Lim (5^4-a^4)/(5^2-a^4 )=2a^2
f→a
(〖(5〗^2-a^2)(5^2+a^2))/(5^2-a^4 )=a^2+a^2=2a^2
Lunes , 25 de Enero del 2016.
Límite de una función
En las aplicaciones de la definición de límite, se presenta usualmente casos como el siguiente:
Se tiene una variable “v” y una función dada z de “v” y se supone que la variable v recibe valores tales que v cuando tiende a l.
Si efectivamente existe una constante a tal que el límite z igual a, entonces se expresa esta relación.
Lim z = a
Ʊ l
Ejemplo:
Limf_((x)= x^2+3x+2)
〖x→ =(5)〗^2+3(5)+2=42
Lim〖f_((x) ) 〗
x→5=42
Ejercicios:
Demostrar que el límite de x^(2 ) cuando x tiene a 2 es igual a 4.
Lim x^2=4 Lim x^2
x→2 x→2
f(x)=x^2 Lim x^2
f (2)=4 x→2=4
2) Demostrar que el limite (z^2-9)/(z-2) cuando z tiende a 2 es igual a (-5)/4
Lim (z^2-9)/(z+2)= (-5)/9
Lim (z^2-9)/(z+2)= ((2)^2-9)/((2+2) )= (-5)/4
Z→2
x→2
Se dice que una función f (x) es continua para x=a si el límite de la función, cuando x tiende hacia “a” es igual al valor de la función para x =a.
Lim f(x)
x→ = f(a)
Entonces f(x) es continua para x=a. Se dice que la función es discontinua para x=a cuando no se satisface esta condición.
Caso 1: f(x)= (x^2-4)/(x-2) Para x = 1
f(1)= (〖(1)〗^2-4)/(1-2)= (-3)/(-1)=3
Lim (x^2-4)/(x-2)=
x→1
x→a
Caso 2: Si f(x) no está definida para x=a pero el límite de a cuando x→a es igual a B.
Lim f(x)
x→a=B Discontinua
Entonces f(x) será continua para x= a, si se tomó como valor f(x) para x= a el valor B.
Lim (x^2-4)/(x-2)= f(x) (〖(2)〗^2-4)/(2-2)=0/0 f(x)=((x+)(x-2))/((x-2))= Lim f(x)=x+2=4
x→2
Infinito
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanecer mayor a cualquier numero positivo asignado de antemano por grande que este sea, decimos que v se vuelve infinito si v toma solamente valores positivos se hace infinitamente positivo o infinitamente positivo. Si se toman valores negativos se hace infinitamente negativo.
Lim v=⋈
Lim v=⋈+1
Lim v=⋈-1
Lim 1/x=⋈
x→0
Lim 1/x=⋈+
x→0+
Lim 1/x=⋈-
x→0-
Ejercicios:
Demostrar que el limite (〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-〖7x〗^3 ) cuando x→⋈ es igual a -2/7
Lim (〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-〖7x〗^3 )=(-2)/7
((〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/x^3 )/((5x-x^2-〖7x〗^3)/x^3 )=(〖2x〗^3/x^3 -〖3x〗^2/x^3 +4/x^3 )/(5x/x^3 -x^2/x^3 -〖7x〗^3/x^3 )=(2-3/x+4/x^3 )/(5/x^2 -1/x-7)
(〖2x〗^3-〖3x〗^2+4)/(5x-x^2-7x^3 )=(2-3/⋈+4/⋈^3 )/(5/⋈^2 -1/⋈-7)=2/(-7)=(-2)/7
Lim (x^2 h+3xh^2+h^3)/(2xh+5h^2 )=x/2
x→0
(h(x^2+3xh+h^2))/(h(2x+5h))=
(x^2+3x(0)+〖(0)〗^2)/(2x+5(0))=x/2
Demuestre la siguiente función:
Lim (〖ax〗^4+bx^2+c)/(dx^5+ex^3+fx)=0
x→⋈
((ax^4+bx^2+c)/x^5 )/((〖dx〗^5+ex^3+fx)/x^5 )=((ax^4)/x^5 +(bx^2)/x^5 +c/x^5 )/((dx^5)/x^5 +(ex^3)/x^5 +fx/x^5 )=(a/x+b/x^3 c/x^5 )/(d+e/x^2 +f/x^4 )=0/d=σ
Demuestre la siguiente función:
Lim (ax^4+bx^2+c)/(dx^3+ex^2+fx+g)=⋈
x→⋈
((ax^4+bx^2+c)/x^4 )/((dx^3+cx^2+fx+g)/x^4 )=((ax^4)/x^4 +(bx^2)/x^4 +c/x^4 )/((dx^3)/x^4 +(ex^2)/x^4 +fx/x^4 +g/x^4 )=(a+b/x^2 +c/x^4 )/(d/x+e/x^2 +f/x^3 +g/x^4 )=( a)/0=⋈
Demuestre la siguiente función:
Lim (5^4-a^4)/(5^2-a^4 )=2a^2
f→a
(〖(5〗^2-a^2)(5^2+a^2))/(5^2-a^4 )=a^2+a^2=2a^2
Derivada de una función derivable
La derivada de una función es el límite de la razón del incremente de la función al incremente de la variable independiente cuando este tiende a 0.
La derivada de una función es el límite de la razón del incremente de la función al incremente de la variable independiente cuando este tiende a 0.
dy/dx=Lim ∆y/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/∆x
〖 y〗^´,f´〖(x)〗_¸ dy/dx, y= dy/dt {█(Velocidad instantanea@pendiente de la recta tangente)}
y´´,f´´〖(x)〗_¸ (d^2 y)/(dx^2 ), y= (d^2 y)/(dt^2 ) {aceleración }
y´´´,f´´´〖(x)〗_¸ d^3/(dx^3 ), {Velociadad de aceleración}
f(x)= x^2 (f(x+∆〖X)〗^2-x^2)/∆x=(x^2+2x∆x+∆x^2-x^2)/∆x=(2x∆+∆^2)/∆=(∆x(2x+∆x))/∆x=2x+∆x=2x
〖 y=x〗^2
y´=2x
Ejercicios:
f(x)→x^3 f(x+∆x)=(x+∆〖x)〗^3
Lim (√(x-h)-√x)/h=1/(2√h)
h→0
(√(x+h)-√x)/h=(√(x+h)+√x)/(√(x+h)+√x)=(x+h-x)/(h(√(x+h)+√x))=h/(h(√(x+h)+√x))=1/(√(x+h)+√x)=1/(√x+√x)=1/(2√x)
Lim ∆y/∆x
∆x→0
dy/dx=Lim ∆y/∆x=(x^3+3x^2 ∆x+3x∆x^2+∆x^3)/∆x=(∆x(3x^2+3x∆+∆x^2))/∆x=3x^2
Derivar la siguiente función:
f(x)=(x+〖2)〗^2
f´(x)= dy/dx
f´(x)= dy/dx= dy/dx (ax^2 )+d/dx (bx)+d/dx(c)
La derivada de una constante es 0
f´ˌ(x)=2ax+b
d/dx (a)=0 d/dx (x^2 )=2x d/dx (x^n )=nx^(n-1)
d/dx (x)=0 d/dx (x^4 )=4x^3 d/dx (2x)=x dx/dx=2
d/dx (3x^2 )=3d/dx(x^3)=6x
Derivar la siguiente función:
f(x)=(x+〖2)〗^2
f(x)= x^2+4x+4
f´´(x)= dy/dx=d/dx (x^2 )+d/dx (4x)+d/dx(4)
dy/dx=2x+4 dx/dx=2x+4
Entonces la primera derivada es la pendiente tangente a una curva.
f(x)=2√x
f´(x)=dy/dx=d/dx=(2√x)=2 d/dx (√x)=2(1/(2√x))=(1/√x )
d/dx (x^(1⁄2) )= 1/2 x^(1⁄(2-1))=x^((-1)⁄2)/2=1/(2√2)
Derivar la siguiente función:
f(x)=2√x+1/x
f´(x)=dy/dx=d/dx (2√x)+d/dx (1⁄x)=(2d(√x))/dx+(d(x^(-1)))/dx=1/√x-1/x^2
〖 x〗^(-2)=-2x^(-2-1)=2x^(-3)=(-2)/x^3
x^(-2)=1/x^2 =(-2)/x^3
d/dx (1/x)=1/x^2
d/dx (2/x^2 )=-4/x^3
d/dx (8/x^4 )=(-32)/x^5
d/dx (2/x^3 )=(-6)/x^4
Clase N° 5
Viernes , 29 de enero del 2016.
d(x^n )
d(u^n )=(nx)^(n-1) du
d(u+v)=du+dv
d(u*v)=udv+vdu
d(u*v*z)=uvdz+uzdv+vzdu
d(u/v)=(vdu-udv)/v2
En caso de multiplicacion
y=(x+2)(x+5)
y´=(x+2)d(x+5)+(x+5)d(x+2)
y´=(x+2)1+(x+5)1
y´=2x+7
y=(x+2)(x+5)
y=x^2+7x+10
y=d(x^2 )+d(7x)+d(10)
y´=2x+7
y=(x^2+2)(x^2+5)
y´=(x^2+2)(2x)+(x^2+5)(2x)
y´=(2x)((2x^2+7)
y´=4x^2+14x
Y=(3x+2)(x^2+5)
y´=(3x+2)(2x)+(x^2+5)(3)
y´=(6x^2+4x +3x^2+5)
y´=9x^2+4x+5
y=(3/x+2)(2x^3+5)
y´=(3/x+2)(6x^2 )+(2x^3+5)(-3/x^2 )
y´=18x+12x^2-6x-15/x^2
y´=12x+12x^2-15/x^2
y=(3/x+2)(2x^(1/2)+5)
y´=(3/x+2)(x^(-(1/2) ) )+(2x^(1/2)+5(-3/x^2 )
y´=(3/x^(3/2) +2/x^(1/2) )+(-6/x^(3/2) -15/x^2 )
y´=-3/x^(3/2) +2/x^(1/2) -15/x^2
En caso de division
.d(u/v)=(v*du-u*dv)/v^2
y=(x+2)/(x+5); x≠-5
y´=((x+5)(1)+(x+2)(1))/(x+5)^2
y´=3/(x+5)^2
y=(x^2+2)/(x+5)
y´=((x+5)(2x)-(x^2+2)(1))/(x+5)^2
y´=(2x^2+10x-x^2+2)/(x+5)^2
y´=(x^2+10x+2)/(x+5)^2
y=(x^2+4)/(x+2)
y=(x+2)(x-2)/(x+2)
y=x-2
y´=1
y=(x^2+4)/(x+2)
y´=((x+2)(2x)-(x^2+4)(1))/(x+2)^2
y´=(2x^2+4x-x^2+4)/(x+2)^2
y´=(x^2+4x+4)/(x+2)^2
y ´=(x+2)^2/(x+2)^2
y´=1
y=(x^3–a^3)/(x-a)
y=(x-a)(x^2+ax+a^2 )/(x-a)
y=x^2+ax+a^2
y´=2x+a
y=(3x^2+5)/(x+2)
y´=((x+2)(6x)-(3x^2+5)(1))/(x+2)^2
y´=(6x^2+12x-3x^2+5 )/(x+2)^2
y´=(3x^2+12x+5)/(x+2)^2
y=(3x^(1/3)+5)/(√x)
y´=(((x^(1/2)(1/x^(2/3) ) )-(3x^(1/3)+5)(1/(2x^(1/2) ))))/x
y´=((x^(1/2)(1/x^(2/3) ) )-((3x^(1/3))/x^(1/2) +(5/x^(1/2) )))/x
y´= -1/(2x^(1/6) )-5/(2x^(3/2) )
Método de la cadena
y=u^n
y´=n*u^(n-1)*du
y=(x+2)^2
y´= 2(x+2)^(2-1)*d(x+2)
y´=2x+4
Y=(x^2+a)^2
y´=2(x^2+a)d(x^2+a)
y´=4x(x^2+a)
y´=4x^3+4xa
y=((x+2)/(x-2))^3
y´=3((x+2)/(x-2))^2*d((x+2)/(x-2))
d((x+2)/(x-2))=((x-2)(1)-(x+2)(1))/(x-2)^2
d((x+2)/(x-2))=-4/(x-2)^2
y´=(-12(x+2)^2)/(x-2)^4
y=((x+2)(x+3)/(x-2))^4
y=4((x+2)(x+3)/(x-2))^3 d((x+2)(x+3)/(x-2))
d((x+2)(x+3)/(x-2)) =((x-2)(2x+15)-x^2-5x-6)/(x-2)^2
d((x+2)(x+3)/(x-2))=x^2-4x-16
y´=(4(x+2)^3 (x+3)^3 (x2-4x-16))/(x+2)^5
y=[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4
y´=4[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^3 d[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4
d[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^4=1-1/(x+2)^2
y´=4[((x+2)+(x+3)^2 )/(x+2)]^3 (1-1/(x+2)^2 )
y´=(4(x+1)(x+3) (x(x+7)+11)^3)/(x+2)^5
y=(√(x+2 ) )/(x-2)
y´=((x-2)(d√(x+2)-√(x+2 ))/(x+2)^2
y´=((x-2)/(2√(x+2))-√(x+2)/(x+2)^2 )
y´=((x-2)-2(x+2))/(2√(x+2))
y´=(x-2)/(2√(x+2)) -2(x+2)/(2√(x+2))
y´=(x-2)/(2√(x+2) ( x-2)^2 ) -(x+2)/((2√(x+2)) (x-2)^2 )
y´=1/(2 √((x+2)(x-2) )) - (x+2)/(2 √((x+2) (x-2)^2 ))
Y=√((x+2)/(x-2))
y =1/2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) d((x+2)/(x-2))
y´=(1/2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) )((-4)/(x-2)^2 )
y´=(-2 ((x+2)/(x-2))^(-1/2) )(1/(x-2)^2 )
y´=(-2√(x-2))/(√(x+2) (x-2)^2 )
y´=(-2)/((√(x+2)) (x-2)^(3/2) )
- y=√(x^2+5 )/(3x^2+2)
y´=(((3x^3 +2) (1/2) (x^2+5)^(-1/2) ) –(x^2+〖5)〗^((1/2) ) (9x^2 )))/(((3x^2 )+2)^2)
y´=(((3x^3 +2) (x))/(√(x^2+5) ) –(x^2+〖5)〗^((1/2) ) (9x^2 )))/((3x^2 )+2)^2
Derivadas del logaritmo
d(lnx)=1/X d(ln u)=d u/u
y=〖ln(x+2)〗^2
y´=d((x+2)^2 )/(x+2)^2
y´=2(x+2)d(x+2)/(x+2)^2
y´=2(x+2)/(x+2)^2
y´=2/(x+2)
y=ln〖x^3 〗+3/x^2
y´=d(ln〖x^3 〗 )+d (3/x2)
y´=d(x^3 )/x^3 -6x^(-3)
y´=(3x^2)/x^3 – 6x^(-3)
y´=3x^(-1)-6x^(-3)
y=ln√(x^2+3x)
y´=(d(x^2 +3x)^(1/2))/(x^2+3x )^(1/2)
y´=(1/2 (x^2+3x)^(-1/2) (2x+3))/(x^2+3)^(1/2)
y´=((2x+3)/(2√(x^2+3x)))/(√(x^2+3x ) )
y´=(2x+3)/2(x^2+3)
y´=(2x+3)/(2 (x^2+3) )
y=√(ln(x^2+4x))
y=[ln(x^2+4x) ]^(1/2)
y´=1/2 [〖ln(x^2+4x ]〗^(-1/2) d(ln(x^2+4x))
y´=(〖d(ln〗〖(x{2 + 4x)))〗/(2 √(ln(x^2+4x) )))
y´=((2x+4)/(x^2+4x))/( 2√(ln(x^2+4x) ) )
y´=(x+2)/(ln(x^2+4) (x^2+4x) )
y=√((lnx^2)/x)
y´=(1/2 )(((lnx^(-1/2) ))/((x^(-1/2) ) ))((2x-2xlnx^2)/x^2 )
y´=lnx/x^(1/2)
y=ln(1/√(x+2))
y´=〖ln(x+2)〗^(-1/2)
y´=(-(1/2) (x+2)^((-3/2) ))/( (x+2)^(-1/2) )
y´=-1/(x+2)
- y= ln (ln(x))
y´=dlnx/lnx
y´=(1/x)/lnx
y´=1/xlnx
Determine de valor de la pendiente de la recta y a la curva ;cuando x=1
y =ln√((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((d((x^2+1)/(x^2-1))*d(((x^2+1))/(x^2-1))))/((x^2+1)/(x^2-1))^(1/2)
y´=(((1/2) ((x^2+1)/(x^2-1))^(-1/2)*d(((x^2+1))/(x^2-1))))/((x^2+1)/(x^2-1))^(1/2)
y´=((d(((x^2+1))/(x^2-1))))/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=(((x^2-1)(2x)-(x^2+1)(2x))/(x^2-1)^2 )/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((2x^3-2x-2x^3-2x)/(x^2-1)^2 )/2((x^2+1)/(x^2-1))
y´=((-4x)/(x^2-1)^2 )/(((2x^2+2)/(x^2-1)) )
y´=(-4x )/(x^2-1)(2x^2+2)
y´=-2x/(x^4-1)
x=2
R: ℝ-{-1,1}
Y´=-4/(16-1)=-4/15
(y-o.25)=-4/15(x-2)
Clase N°6
Lunes , 1 de Febrero del 2016.
Tema:
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGNOMETRICAS
d/dx sin〖x=cosx 〗 d/dx cos〖x=-sinx 〗
d/du sin〖u=cos〖up*du〗 〗 d/dx cos〖u=-sin〖u*du〗 〗
f(x)=ln cosx
f´(x)=dcosx/cosx =(-sinx)/cosx
f´(x)=tanx
d(tanx)= (d sen x)/cosx =cos〖(cos〖x)-sen x(-senx)〗 〗/(〖cos〗^2 x) (d sen x)/cosx
=(〖cos〗^2 x+〖sen〗^2 x)/cosx =1/(〖cos〗^2 x)
d(cot x)=
=〖d cos〗x/(sen x)= (sen x (-sen x)-cos〖x (cos〖x) 〗 〗)/(〖sen〗^2 x)= (〖sen〗^2 x〖-cos〗^2 x)/(〖sen〗^2 x)=1/(〖sen〗^2 x)= -〖csc〗^2 x
g(x)= ln (〖sen x〗^2)
=(〖cosx〗^2*2x )/〖sen x〗^2 = 〖2x cotx〗^2
b(x)=√(〖ln〖cos(x+2)〗〗^2 )
=(-sen (x+2)^2*2(x+2))/(〖cos(x+2)〗^2/√(〖lncos〖(x+2)〗 〗^2 )) = (〖-tan〖(x+2)〗〗^2 (x+2))/√(〖lncos〖(x+2)〗 〗^2 )
f(x)=a^x
y=a^x
lny=x lna
d 〖(ln〗〖y)= d (x lna)〗
dy/y=lna
dy=y lna
f (x)=e^2x
〖f´x=d e〗^2x lne
f´x=2e^2x
〖h(x)=e〗^2x
〖h´(x)=de〗^(x^2 ) lne
〖h´(x)=2xe〗^(x^2 )
〖f(x)=e〗^(2lnx ) e^ln〖x^2 〗
e^(lnx^2 )= x^2
〖f(x)=d(x)〗^2
f´(x)=2x
h(x)= e^(x+x^2 )
〖h´(x)=e〗^x*e^(x^2 )
h´(x)=e^x*〖de〗^(x^2 )+e^(x^2 )*〖de〗^x
〖h´(x)=e〗^x*2xe^(x^2 )+e^(x^2 )*e^x
〖h´(x)=e〗^(x^2+x) (2x+1)
f(x)=x^n
〖f´(x)=nx〗^(n-1)
〖f(x)=a〗^x
〖f´(x)=a〗^x lna
〖f(x)=u〗^v
〖y=u〗^v
d(lny)=d(vlnu)
d(lny)=v d(lnu)+lnu d(v)
dy/d=(v*du )/u+lnu dv
dy=y v/u d u+lnu*dv
〖f´(x)=(sen x)〗^(x^2 )
u=sen x
du=cosx
〖v=x〗^2
dv=2x
〖d (senx)〗^(x^2 )=〖(senx)〗^(x^2 ) x^2/(sen x)*cos〖x+ln(senx)*2x〗
〖d(senx)〗^(x^2 )=sen x^2 x^2 cotgx+2xln(senx)
〖y=3x〗^2+4x+5
y´=6x+4
y´´=d 6x=6
Lunes , 1 de Febrero del 2016.
Tema:
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGNOMETRICAS
d/dx sin〖x=cosx 〗 d/dx cos〖x=-sinx 〗
d/du sin〖u=cos〖up*du〗 〗 d/dx cos〖u=-sin〖u*du〗 〗
f(x)=ln cosx
f´(x)=dcosx/cosx =(-sinx)/cosx
f´(x)=tanx
d(tanx)= (d sen x)/cosx =cos〖(cos〖x)-sen x(-senx)〗 〗/(〖cos〗^2 x) (d sen x)/cosx
=(〖cos〗^2 x+〖sen〗^2 x)/cosx =1/(〖cos〗^2 x)
d(cot x)=
=〖d cos〗x/(sen x)= (sen x (-sen x)-cos〖x (cos〖x) 〗 〗)/(〖sen〗^2 x)= (〖sen〗^2 x〖-cos〗^2 x)/(〖sen〗^2 x)=1/(〖sen〗^2 x)= -〖csc〗^2 x
g(x)= ln (〖sen x〗^2)
=(〖cosx〗^2*2x )/〖sen x〗^2 = 〖2x cotx〗^2
b(x)=√(〖ln〖cos(x+2)〗〗^2 )
=(-sen (x+2)^2*2(x+2))/(〖cos(x+2)〗^2/√(〖lncos〖(x+2)〗 〗^2 )) = (〖-tan〖(x+2)〗〗^2 (x+2))/√(〖lncos〖(x+2)〗 〗^2 )
f(x)=a^x
y=a^x
lny=x lna
d 〖(ln〗〖y)= d (x lna)〗
dy/y=lna
dy=y lna
f (x)=e^2x
〖f´x=d e〗^2x lne
f´x=2e^2x
〖h(x)=e〗^2x
〖h´(x)=de〗^(x^2 ) lne
〖h´(x)=2xe〗^(x^2 )
〖f(x)=e〗^(2lnx ) e^ln〖x^2 〗
e^(lnx^2 )= x^2
〖f(x)=d(x)〗^2
f´(x)=2x
h(x)= e^(x+x^2 )
〖h´(x)=e〗^x*e^(x^2 )
h´(x)=e^x*〖de〗^(x^2 )+e^(x^2 )*〖de〗^x
〖h´(x)=e〗^x*2xe^(x^2 )+e^(x^2 )*e^x
〖h´(x)=e〗^(x^2+x) (2x+1)
f(x)=x^n
〖f´(x)=nx〗^(n-1)
〖f(x)=a〗^x
〖f´(x)=a〗^x lna
〖f(x)=u〗^v
〖y=u〗^v
d(lny)=d(vlnu)
d(lny)=v d(lnu)+lnu d(v)
dy/d=(v*du )/u+lnu dv
dy=y v/u d u+lnu*dv
〖f´(x)=(sen x)〗^(x^2 )
u=sen x
du=cosx
〖v=x〗^2
dv=2x
〖d (senx)〗^(x^2 )=〖(senx)〗^(x^2 ) x^2/(sen x)*cos〖x+ln(senx)*2x〗
〖d(senx)〗^(x^2 )=sen x^2 x^2 cotgx+2xln(senx)
〖y=3x〗^2+4x+5
y´=6x+4
y´´=d 6x=6
Viernes ,12 de Febrero del 2016.
Clase N°7
TEMA:
RAZÓN DE CAMBIO RELACIONADAS
Si una variable y depende del tiempo t entonces dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo.
Si y mide la distancia entonces esta razón de cambio se llama velocidad. Algunos ejemplos en ingeniería química suele ser el caudal o el flujo de masa que entra a un sistema, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, etc.
Ejercicios:
Se suelta un globo a 150 ft en un punto alejado un observador quien se encuentra a nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una v=8ft/s que tan rápido aumenta la distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 50 ft de altura.
s=√(〖50〗^2+〖150〗^2 ) s^2=h^2+a^2
s=50√10 m 2s ds/dt=2h dh/dt
h=50 ft s ds/dt=h dh/dt
150 ft 50√10 ds/dt=50*8 ds/dt=0.8√10 ft/s
En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 〖ft〗^3/min si la altura del tanque es de 12 ft ¿Qué tan rápido se eleva el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 4 ft.
6ft 6/12=r/h
6ft r=h/2
R 12 ft r V=1/3 πr^2 h
h h V= 1/3 π(h/2)^2 h 12 ft V= 1/12 πh^3
dv/dt= 3/12 πh^2 dh/dt
dh/dt= (4*8)/(π(4)^2 ) dh/dt=0.63 ft/min
Un aeroplano que vuela hacia el Norte a 640 mi/h pasa sobre cierta ciudad al medio día. Un segundo aeroplano que va hacia el Este a 600 mi/h esta directamente encima de la misma ciudad 15 min más tarde. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud que tan rápido se están separando a la 1:15pm
x_a=640 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_a=160 millas
y+160 x_b=600 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_b=150 millas
X
s= √((y+160)^2+(x)^2 ) 2s ds/dt=2(y+160) dy/dt+2x dx/dt
s= √((600)^2+(640+160)^2 ) ds/dt=(800(640)+600(600))/1000
s=1000 millas ds/dt=872 millas/h
Clase N°8
Tema:
Máximos y mínimos
Identifique los puntos críticos y encuentran los valores máximos y mínimos en el intervalo dado:
f(x)=x^2+4x+4
Tema:
Máximos y mínimos
Identifique los puntos críticos y encuentran los valores máximos y mínimos en el intervalo dado:
f(x)=x^2+4x+4
En el intervalo [-4,0]
f^' (X)=〖(x+2)〗^2
x y
0 4
1 9
-1 1
-2 0
(-∞,-1)decrece
(-1,∞)crece
f^' (x)=d[(x+2)]^2
f^' (x)=2(x+2)
f^' (x)=0
0=2(x+2)
x=-2
f(x)=|3s-2|
f^' (x)=d√((3s-2)^2 )
f^' (x)=(3s-2)3/(2√((3s-2) ))
0=3(3s-1)
(2/3,∞)crece
(-∞,2/3)decrece
y(x)=x^2+3x
Y^' (x)=2x
0=2x
x=0
h(t)=t^(5/3)/(2+t) I[-1,8]
h(t)=〖5t〗^(1/3)/(2+t)
h^' (t)=(5(2+t) t^(2/3)-3t^(5/3))/(3(2+t)^2 )
h^' (t)=(2t^(2/3) (5+T))/(3(2+t)^2 )
(-∞,-5)↓ (-2,0)↓
(-5,-2)↑ (0,∞)↑
Clase N°9
Viernes , 26 de febrero del 2016
Determine si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes
y=3x+3
Al derivar la función
y=3x+3
y'=3
Determinamos que es creciente.
¿Cómo sabemos hacia qué lado es cóncava? Esto se explica con el teorema de concavidad, sacando la 2da derivada.
y'=3
y''=0
Si es 0, quiere decir que no es cóncava
La segunda derivada de f(x) cuando es mayor a 0, la función es cóncava hacia arriba y si f(x) es menor a 0 entonces es cóncava hacia abajo
Ejemplo:
h(t)= t^2+2t-3
h(t)=(t+3)(t-1)
h(t)= t^2+2t+1-1-3
h(t)=〖(t+1)〗^2-4
Una vez hemos simplificado la función podemos derivarla
h^' (t)=2t+2
h^''(t)=2
H’’(t) es mayor a 0, por lo tanto es cóncava hacia arriba
Ahora determinamos los puntos críticos
h^' (t)=2t+2
0=2t+2
t=-1
Decreciente (-∞,-1)
Creciente (-1,∞)
g(x)=2x^3-9x^2+12x
Graficamos
1era derivada
g(x)=2x^3-9x^2+12x
g'(x)=6x^2-18x+12
Puntos críticos
0=6x^2-18x+12
0=(x-2)(x-1
x=2; x=1
Creciente (-∞,1)U (2,∞)
Decreciente (1,2)
Segunda derivada
g'(x)=6x^2-18x+12
g^''(x) =12-18
f(x)=x^3-1
Graficamos
1era derivada
f(x)=x^3-1
f'(x)=〖3x〗^2
2da derivada
f''(x)=6x
Nota: Toda la gráfica es creciente
Utilice el teorema de concavidad para determinar en donde la función dada es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo además de los puntos de inflexión
f(x)=〖(x-1)〗^2
Graficamos
Derivamos
f(x)=〖(x-1)〗^2
f'(x)=2x-2
Puntos críticos
0=2x-2
x=1
Creciente (1,∞)
Decreciente (-∞,1)
Segunda derivada
f'(x)=2x-2
f''(x)=2
Es cóncava hacia arriba
T(t)= 〖3t〗^3-18t
Graficamos
1era Derivada
T(t)= 〖3t〗^3-18t
T'(t)= 〖9t〗^2-18
Puntos críticos
0= 〖9t〗^2-18
t=±√2
Creciente (-∞,-√2) U (√2,∞)
Decreciente (-√2,√2)
Segunda derivada
T'(t)= 〖9t〗^2-18
T''(t)= 18t
Ejercicios razón de cambio
Suponga que se vierte Agua en un depósito cónico a ½ 〖pulgada〗^3/s, determine la altura en función de t y dibuje h(t) desde t=0. El diámetro es de 2 pulgadas y una altura de 4 pulgadas.
Vcono=1/3 πr^2 h
Vcono=1/3 π〖h/4〗^2 h
16Vcono=1/3 πh^3
Derivamos
16dv/dt=πh^2 dh/dt
Reemplazamos valores
16(1/2)=πh^2 dh/dt
8/(πh^2 )=dh/dt
Hallar una relación entre h con el tiempo
dv/dt=(1〖inch〗^3)/2
(1〖inch〗^3)/2 t=Volumen
√
Despejamos
Vcono=1/3 (πh^2)/16
1/2 t= (πh^2)/48 h
h(t)=∛(24t/π)
Primera derivada
h(t)=∛(24t/π)
h^' (t)=1/3 (24t/π)^(-2/3)-24/π
h^' (t)=8/(π∛(24t/π))
Segunda derivada
h^' (t)=8/(π∛(24t/π))
h^' (t)=8/(π∛((8^2 3^2 t^2 π)/π^3 ))
h^' (t)=8/(4π/π ∛(9t^2 π))
h^' (t)=2/∛(9t^2 π)
〖h^'〗^'(t) =-2/3 2/∛(9π^2 ) t^(-5/3)
La segunda derivada tiene signo negativo, por lo que su concavidad es hacia abajo
Lunes , 29 de febrero del 2016
Clase N° 10
Derivadas Parciales
Hallar la derivada parcial de: z= ax^2+2bxy+cy^2
Z está en función de (x, y)
La derivada parcial de una función está dada por la siguiente ecuación
dparc.z=dparcialz/(dparcial x) ∆x+dparcialz/dparcialy ∆y
dparcialz/dparcialx=2ax+2by+0
dparcialz/dparcialy=2bx+2cy
Ejercicios
Hallar la derivada parcial de: u=sen(ax+by+cz)
U está en función de (x, y, z)
dparcialu/dparcialx=Cos(ax+by+cz)a
dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)b
dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)c
Hallar la derivada parcial de: z=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
Z está en función de (x, y)
dparcialz/dparcialx=2ax+by+d
dparcialz/dparcialx=2cy+bx+e
f(x,y)= (ax+by)/(cx+dy)
Con x:
dparcialz/dparcialx=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/〖(cx+dy)〗^2
dparcialz/dparcialx=(acx+ady-acx-cby)/〖(cx+dy)〗^2
dparcialz/dparcialx=(y(ad-bc))/〖(cx+dy)〗^2
Con y:
dparcialz/dparcialy=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/〖(cx+dy)〗^2
dparcialz/dparcialy=(bcx+bdy-adx-bdy)/〖(cx+dy)〗^2
dparcialz/dparcialy=x(bc-ad)/〖cx+dy)〗^2
f(x,y)=(x+y)Sen(x-y)
Con x:
dparcialz/dparcialx=Sen(x-y)d(x+y)+(x+y)d(Sen(x-y))
=Sen(x-y)1+(x+y)Cos(x-y)(1)
Con y:
dparcialz/dparcialy=Sen(x-y)+(x+y)Cos(x-y)(-1)
e=Sen2θCos3∅
e Está en función de ((θ,∅)
Con θ:
dparciale/dparcialθ=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2θ)
=2Cos2θCos3∅
Con ∅:
dparciale/(dparcial∅)=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2ϑ)
=-3Sen3∅Sen2θ
α=e^(-θ) Cos ∅/θ
Con θ:
dparciala/dparcialθ=e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)d(∅/θ)+(Cos∅)/θ e^(-θ) d(-θ)
〖-e〗^(-θ) (Sen∅)/θ ((-1∅)/θ)+Cosθ/∅ e^(-θ) (-1)
Con ∅:
dparcialα/(dparcial∅)= e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)(1/θ)+0
Diferencial total
Calcular ∆u y du para la función u=2x^2+3y^2 cuando x=10, y=8, ∆x=0,2,∆y=0,3
a)
u+∆u=2〖(x+∆x)〗^2+3〖(y+∆y)〗^2
∆u= [2〖(x+∆x)〗^2+3(y+∆y)^2 ]-u
∆u= [2x^2+4x∆x+2∆x^2+3y^2+6y∆y+3〖∆y〗^2 ]-2x^2-3y^2
∆u=4x∆x+2∆x^2+6y∆y+3∆y^2
∆u=4(10)(0,2)+2〖(0,2)〗^2+6(8)(0,3)+3〖(0,3)〗^2
∆u=22,75
b)
du=dparcialu/dparcialx ∆x+dparcialu/dparcialy ∆y
dparcialu/dparcialx=4x
dparcialu/dparcialy=6y
du= 4x∆x+6y∆y
du= 4(10)(0,2)+6(8)(0,3)
du=2
